やさしい理系物理
§3 三次元の運動学
1 三次元における速度・加速度
位置ベクトル
$3$ 次元における運動学を考えましょう。
まずは、この世界に $xyz$ 直交座標を適当に引きます。このとき質点の位置は、$xyz$ 座標 $(x(t),y(t),z(t))$ を指定することにより記述できます。ここで、$x(t),y(t),z(t)$ はそれぞれ $t$ の関数です。これを、3次元のベクトルとして下記のように書くことにします。
\begin{align} \overrightarrow r(t) =(x(t),y(t),z(t)) \end{align}これを位置ベクトルといいます。なぜ座標ではなく位置ベクトルの形にするかというと、ベクトル「量」として扱うため、という程度の簡単な理由です。座標って、足したり引いたりすることはできませんよね。
速度ベクトル
時刻 $t$ に位置 $\overrightarrow r(t)$ にいる質点が、少し経って時刻 $t+h$ には位置 $\overrightarrow r(t+h)$ にいたとしましょう。
このとき、平均の速度を、
として定義します。 平均の速度において、時間の間隔 $h$ を $0$ に近づけるときの $\overrightarrow v(t,h)$ の極限値
を、時刻 $t$ における瞬間の速度といいます。なお、$2$ 行目の等号では、ベクトルの各成分において 微分の定義式 $\displaystyle \frac{\mathrm d x(t)}{\mathrm d t}=\lim_{h \to 0}\frac{x(t+h)-x(t)}{h}$を使用しました。
上の式から直ちに分かるように、瞬間の速度は、$x,y,z$ の各成分を微分したものになります。上の式を、ベクトルの微分として、$\displaystyle \frac{\mathrm d\overrightarrow r(t)}{\mathrm d t}$ と書くことにしましょう：
\begin{align} \frac{\mathrm d\overrightarrow r(t)}{\mathrm d t}=\left( \frac{\mathrm d x(t)}{\mathrm dt}, \frac{\mathrm d y(t)}{\mathrm dt}, \frac{\mathrm d z(t)}{\mathrm dt}\right). \end{align}
ベクトルの微分というと怖気づくかもしれませんが、ようは各成分を微分するだけです。表記の問題なので気にしないでください。二階微分も同様にして、下記のように書くことにします：
\begin{align} \frac{\mathrm d^2\overrightarrow r(t)}{\mathrm d^2 t}=\left( \frac{\mathrm d^2 x(t)}{\mathrm dt^2}, \frac{\mathrm d^2 y(t)}{\mathrm dt^2}, \frac{\mathrm d^2 z(t)}{\mathrm dt^2}\right). \end{align}
これを、質点の加速度ベクトルとして定義します。
定義
位置ベクトル $\overrightarrow r(t) =(x(t),y(t),z(t))$ の質点の速度ベクトル $\overrightarrow v(t)$、加速度ベクトル $\overrightarrow a(t)$ を下記により定義する。
\begin{align} \overrightarrow v(t)&=\frac{\mathrm d\overrightarrow r(t)}{\mathrm d t}=\left( \frac{\mathrm d x(t)}{\mathrm dt}, \frac{\mathrm d y(t)}{\mathrm dt}, \frac{\mathrm d z(t)}{\mathrm dt}\right)\\ \overrightarrow a(t)&=\frac{\mathrm d^2\overrightarrow r(t)}{\mathrm d^2 t}=\left( \frac{\mathrm d^2 x(t)}{\mathrm dt^2}, \frac{\mathrm d^2 y(t)}{\mathrm dt^2}, \frac{\mathrm d^2 z(t)}{\mathrm dt^2}\right) \end{align}注意
高校物理では、速度ベクトル $\overrightarrow v(t)$ の絶対値 $|\overrightarrow v(t)|$ を特に速さといいます。
例
位置ベクトルが $\overrightarrow r(t)=(t^3,t+1)$ の質点の速度ベクトルと加速度ベクトルは、下記のようになる。 \begin{equation} \begin{split} \overrightarrow v(t)&=(3t^2,1)\\ \overrightarrow a(t)&=(6t,0) \end{split} \end{equation}
2 速度、加速度ベクトルの逆算
三次元における速度ベクトル $\overrightarrow v(t)$ が、位置ベクトル $\overrightarrow r(t)$ の各成分を微分して得られたのと同様にして、三次元における位置ベクトル $\overrightarrow r(t)$ は、速度ベクトル $\overrightarrow v(t)=(v_x(t),v_y(t),v_z(t))$ の各成分を積分することにより得られます。
\begin{align} x(t)&=x(0)+\int_0^t v_x(t')\mathrm{d}t'\\ y(t)&=y(0)+\int_0^t v_y(t')\mathrm{d}t'\\ z(t)&=z(0)+\int_0^t v_z(t')\mathrm{d}t'\\ \end{align}これを先程と同様に、ひとまとめにして次のように書くことにします。
例
加速度ベクトルが一定値 $\overrightarrow a(t)=\overrightarrow a$ のときの、速度ベクトルと位置ベクトルを考えよう。まず、速度ベクトルは、
\begin{align} \overrightarrow v(t)&=\overrightarrow v(0)+\int_0^t \overrightarrow a(t')\mathrm{d}t'\\ &=\overrightarrow v(0)+\overrightarrow a t \\ \end{align}とかける。同様にして、位置ベクトルは
\begin{align} \overrightarrow r(t)&=\overrightarrow r(0)+\int_0^t \overrightarrow v(t')\mathrm{d}t'\\ &=\overrightarrow x(0)+\overrightarrow v(0)t+\frac{1}{2}\overrightarrow a t^2 \\ \end{align}とかける。
おまけ：数学的補足
注意
本節はおまけです。この先の議論に全く関係ないので、飛ばしてもらって大丈夫です。
ベクトルの微分について数学的にきちんと定義をしなかったので、モヤモヤした方もいるかもしれません。
ここでは、ベクトルの微分をきちんと定義し、ベクトルの微分が結局、各成分の微分に過ぎないことを証明します。大学数学の範囲に踏み込みますが、高校数学の知識で十分です。
ベクトルの極限
微分は極限を用いて定義されるので、まずはベクトルの極限を定義しましょう。
関数の極限を思い出してください。$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\alpha$ は、絶対値を用いて、 \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to a}|f(x)-\alpha|=0 \end{align} と書いても同じです。この書き方は、どんなに小さい数 $\epsilon>0$ をとっても、$x$ を十分 $a$ に近づければ $|f(x)-\alpha|<\epsilon$ とできる、という意味で、極限の厳密な定義（ $\epsilon$-$\delta$ 論法といいます）により沿った書き方です。
そこで、上の式と同様に、ベクトルの極限を以下のように定義します。
定義
ベクトル $\overrightarrow f(x)$ を $x$ の関数とする。このとき、$x$ が $a$ に近づくときの $\overrightarrow f(x)$ の極限が $\overrightarrow \alpha$ であるとは、下記が成り立つことである：
\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to a}|\overrightarrow f(x)-\overrightarrow \alpha|=0. \end{align}ただし $|\overrightarrow f(x)-\overrightarrow \alpha|$ は、ベクトル $\overrightarrow f(x)-\overrightarrow \alpha$ の長さ（ノルム）を指す。
これ以降、上の事実を、以下のように表記する：
\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to a}\overrightarrow f(x)=\overrightarrow \alpha. \end{align}ようは、絶対値を長さ（ノルム）に変えただけです。
ベクトルの微分
ここまでくれば、ベクトル $\overrightarrow f(x)$ の微分の定義は簡単です。 ベクトルの微分 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} \overrightarrow f(x)}{\mathrm{d} x}$ を、右辺を使って以下のように定義します。
\begin{align} \frac{\mathrm{d} \overrightarrow f(x)}{\mathrm{d} x} \, \overset{\text{def}}{:=}\, \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\overrightarrow f(x+h)-\overrightarrow f(x)}{h} \end{align}ここで $\overset{\text{def}}{:=}$ は、「右辺で左辺を定義する」という意味で書いています。
ベクトルの微分は、各成分の微分に等しい
最後に、「ベクトルの微分は、各成分の微分に等しい」ことを証明します。これは、以下の命題を証明すればよいです。
命題
ベクトル $\overrightarrow f(x),\ \overrightarrow \alpha$ の各成分を以下のように書く：
\begin{align} \overrightarrow f(x)&= \big(f_1(x), f_2(x),f_3(x)\big), \\ \overrightarrow \alpha &= \big(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\big). \end{align}このとき、以下の同値関係が成り立つ。
\begin{align} \lim_{x \to a}\overrightarrow f(x)=\overrightarrow \alpha \ \Longleftrightarrow\ \style{font-family:inherit;}{\text{各成分に対して、}}\lim_{x \to a} f_i(x)= \alpha_i \end{align}【証明】
$\Longrightarrow ) $ $0< |f_i(x)-\alpha_i| <|\overrightarrow f(x)-\overrightarrow \alpha|$ より、はさみうちの定理から明らかです。
$\Longleftarrow ) $ $|\overrightarrow f(x)-\overrightarrow \alpha|^2=\displaystyle \sum_{i=1}^3|f_i(x)-\alpha_i|^2$ に注意してください。これと仮定より、$\displaystyle \lim_{x \to a}|\overrightarrow f(x)-\overrightarrow \alpha|^2=0$、ゆえに $\displaystyle \lim_{x \to a}|\overrightarrow f(x)-\overrightarrow \alpha|=0$ です。（証明終）