Bayes の定理の例
モンティ・ホール問題
Bayes の定理は、「結果を見たあとで、原因の確率を更新する」ための公式である。ここでは、モンティ・ホール問題を使って具体的に確認する。
ポイントは、司会者がドアを開けたという行動も、確率を変える情報になっているということである。
1 Bayes の定理
まず Bayes の定理を確認しておこう。
事象の列 $(A_i)_{i\in \mathbb{N}^+}$ があり、これによって事象 $B$ が引き起こされる場合を考える。各 $A_i$ は排反で、かつ全 $A_i$ の和集合は全事象 $\Omega$ に等しいとする。
事象 $B$ が起こったときに、 $A_i$ が原因である確率 $P(A_i|B)$ は、次のように計算できる。
右辺の $P(A_i)$ は、$B$ を見る前に考えていた確率である。これを事前確率と呼ぶことがある。一方、左辺の $P(A_i|B)$ は、$B$ が起こったと知ったあとで更新された確率である。こちらは事後確率である。
また、$P(B|A_i)$ は「原因 $A_i$ だったときに、結果 $B$ がどれくらい起こりやすいか」を表している。つまり Bayes の定理では、もともとの起こりやすさ $P(A_i)$ と、観測された結果 $B$ との相性 $P(B|A_i)$ の両方を使って、原因の確率を更新している。
2 モンティ・ホール問題
次に、よく知られているモンティ・ホール問題を考える。
$3$ つのドア $i=1,2,3$ があり、それぞれが当たりである確率を $P(A_i)=1/3$ とする。ただし当たりは $1$ つだけとする。ここで $A_i$ は「ドア $i$ が当たりである」という事象である。
今、挑戦者は最初に $1$ を選んだあと、当たりのドアを知っている司会者が、挑戦者が選んでいないドア $3$ を開けるとする（一般性は失わない）。このとき、挑戦者が当たりを狙うためには、開けるドアを $2$ に変更すべきか考えよう。
何も情報がなければ、ドア $1$、ドア $2$、ドア $3$ が当たりである確率はすべて $1/3$ である。しかし、司会者がドア $3$ を開けたという情報を得たあとでは、確率を更新しなければならない。
司会者がドア $3$ を開ける事象を $C_3$ とする。このとき、各場合で司会者がドア $3$ を開ける確率は次のようになる。
この式は少し重要なので、場合分けを言葉で確認しておこう。
もしドア $1$ が当たりなら、司会者はドア $2$ とドア $3$ のどちらを開けてもよい。ここでは司会者がどちらも同じ確率で選ぶとして、ドア $3$ を開ける確率は $1/2$ である。
もしドア $2$ が当たりなら、司会者は当たりのドア $2$ を開けられない。したがって、司会者は必ずドア $3$ を開ける。この場合、$P(C_3|A_2)=1$ である。
もしドア $3$ が当たりなら、司会者はドア $3$ を開けられない。したがって、$P(C_3|A_3)=0$ である。
3 Bayes の定理で計算する
司会者がドア $3$ を開けたという情報を得たあとで、最初に選んだドア $1$ が当たりである確率を計算しよう。
Bayes の定理より、
分母は、司会者がドア $3$ を開ける確率全体である。つまり、「ドア $1$ が当たりで司会者が $3$ を開ける場合」「ドア $2$ が当たりで司会者が $3$ を開ける場合」「ドア $3$ が当たりで司会者が $3$ を開ける場合」を全部足している。
同様に、ドア $2$ が当たりである確率は
よって、司会者がドア $3$ を開けたあとでも、最初に選んだドア $1$ が当たりである確率は $1/3$ のままである。一方で、残ったドア $2$ が当たりである確率は $2/3$ に上がる。
したがって、挑戦者はドア $2$ に変更した方がよい。
4 なぜ直感とずれるのか
この問題が直感とずれやすいのは、司会者がドアを開けたあとに「残りは $2$ つだから半々だ」と考えたくなるからである。
しかし、司会者はランダムにドアを開けているわけではない。司会者は当たりの場所を知っていて、必ず外れのドアを開ける。この行動には情報が含まれている。
最初に選んだドアが当たりである確率は $1/3$ しかない。つまり、最初の選択が外れている確率は $2/3$ である。そして、最初の選択が外れていた場合、司会者が外れのドアをひとつ開けることで、残った閉じたドアに当たりが集約される。
このため、変更する戦略の成功確率は $2/3$ になる。Bayes の定理は、この「司会者の行動によって情報が更新される」という部分を、式として正確に表している。