物質の電磁気学入門

2−1　導入

本ページ2では、物質中の電磁気学で電束密度$\, \boldsymbol D\, $、誘電分極$\, \boldsymbol P\, $に並んで重要な概念である磁場$\, \boldsymbol H\, $、磁化$\, \boldsymbol M\, $を真空中の電磁気学に自然な形で導入し、物質中においても$\, \nabla \cdot \boldsymbol B(\boldsymbol r,t)=\boldsymbol 0 \, $が成り立つことを示す。

この部分は多くの教科書で、量子力学に基づく難解な説明がされており、多くの読者が挫折した部分ではないかと思う。しかし、実はこの理解に量子力学は一切必要なく、中学で習った「磁場」の概念だけで十分理解が可能である。おそらく本ページの解説は、他のどの教科書にも乗っていないオリジナルの解説ではないかと思う。本サイトのうちで最も面白い部分なので、ぜひ楽しんで読んでほしい。

量子力学は使いません！

そもそも，磁性体における磁場の発生起源は，本質的に量子力学的なものである。しかし，ここでそのような量子力学的な起源についていちいち説明していては大変だし，第一ここは量子力学について論じる場ではない。誘導磁場の起源について十分に納得がいくほど理解するというのは，とても大変な話なのである。そこで本ページでは，そのような微視的な機構から議論を導入することは全面的に控えることにした。

一方で，本ページの最後で磁化の起源について考察し，歴史的に電子のスピンが要請された経緯についても触れている。そのため，これから量子力学を勉強する予定の読者が自然に量子力学へ溶け込めるようにしたので，未履修の読者も本ページの議論におびえる必要はまったくない。

$\, \boldsymbol E$-$\boldsymbol H\, $対応

我々が本ページで論じたい静磁場の問題は，物質中に外部磁場をかけると，その物質が磁気的に分極を起こすような現象をどのように扱えばよいのか，という（巨視的な）問題である。これは誘電体における電気分極の現象と同じであり，誘電体と同じ議論が本ページにもうまく適用できれば，特に問題もなく解決されることが期待できる。

そこでひとまず，電気学において，電場$\, \boldsymbol E\, $と電気双極子モーメント$\, \boldsymbol p\, $が<%-- \7{5}{　ここで$\, \epsilon_0\, $は真空の誘電率であり，$\, q\, $は位置ベクトル$\, \boldsymbol r'\, $にある電荷である。また，$\, \boldsymbol d\, $は電荷$\, q\, $を始点，$\, -q\, $を終点とした，距離を表すベクトルである。}--%> \begin{equation} \boldsymbol E(\boldsymbol r)=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q(\boldsymbol r-\boldsymbol r')}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r'|^3},\quad \boldsymbol p=q\boldsymbol d\label{2.1.1} \end{equation} と表現されることを真似て，磁場$\, \boldsymbol H\, $と磁気双極子モーメント$\, \boldsymbol m_c\, $を \begin{equation} \boldsymbol H(\boldsymbol r)=\frac{1}{4\pi \mu_0}\frac{q'(\boldsymbol r-\boldsymbol r')}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r'|^3},\quad \boldsymbol m_c=q'\boldsymbol d\label{2.1} \end{equation} と定義することにしよう。ここで$\, \mu_0\, $は真空の透磁率であり，$\, q'\, $は位置ベクトル$\, \boldsymbol r'\, $にある磁荷である。また，$\, \boldsymbol d\, $は磁荷$\, q'\, $を始点，$\, -q'\, $を終点とした距離ベクトルである。

本ページの目的

読者は，(\ref{2.1})式のようないささか乱暴な磁場と磁気双極子モーメントの導入に，納得がいかずモヤモヤしているかもしれない。実際、上の定義には大きく2つの問題がある。

1点目は，先ほどの$\, \boldsymbol H(\boldsymbol r),\ \boldsymbol m_c\, $の導入で、単独の磁荷を想定してしまっている点である。真空中の電磁気学の議論では単独の磁荷の存在は認められていないから，そのような空想物の存在を仮定して$\, \boldsymbol H(\boldsymbol r),\ \boldsymbol m_c\, $を定義してしまうのは，普通に考えればとてもまずい話である。

——しかし，実のところこれはさほど深刻な問題ではない。前ページ1の電気学の議論でも，誘電体の表面・内部に現れた分極電荷$\, \rho_P$，$\sigma_P\, $は$\, \boldsymbol P(\boldsymbol r)\, $に起因したものであり，本当に単独で存在する真電荷があるわけではなかった。この$\, \rho_P$，$\sigma_P\, $を考えて，我々は物質中のGaussの法則を手に入れたのである。同様にして，磁性体の分極の考察においても，等価な分極磁荷をもとに考えるのは，（本当に単独の磁荷を間違えて置いてしまわない限り）議論の出発点としては決して的外れではないはずだ。

むしろ問題なのは次の2点目にある。(\ref{2.1})式のような導入の仕方では，すでに完成されている真空中の電磁気学の理論と$\, \boldsymbol H(\boldsymbol r),\ \boldsymbol m_c\, $がいったいどのような関係にあるのか，まったく分からないのである。今の導入の時点では，$\, \boldsymbol H(\boldsymbol r),\ \boldsymbol m_c\, $は真空中の電磁気学の理論にとって，ただの異質物でしかない。特に，磁場$\, \boldsymbol H(\boldsymbol r)\, $と磁束密度$\, \boldsymbol B(\boldsymbol r)\, $がどのような関係にあるのか何も分からないことは深刻である。

——しかし逆に言えば，この$\, \boldsymbol H(\boldsymbol r),\ \boldsymbol m_c\, $の概念が真空中の電磁気学の理論によってしっかり根拠づけられれば，物質中の静磁場の電磁気学については解明されたことになるし，$\, \boldsymbol H(\boldsymbol r),\ \boldsymbol m_c\, $の定義についても，現時点での(\ref{2.1})式のような乱暴な定義はすぐに捨ててしまって，真空中の電磁気学に基づいたきれいな定義が構築できるだろう。本ページの議論は，この「$\, \boldsymbol H(\boldsymbol r),\ \boldsymbol m_c\, $の概念を，真空中の電磁気学の理論に自然にとけ込ませる」ことに全労力が支払われるといっても過言ではない。

2−2　真空中の電磁気学から磁場の概念を検証する

素朴に考えてみる

それでは，以上のような方針を踏まえて議論をしていこう。まず，(\ref{2.1})式の導入は，前ページ1の議論が本ページでも使えるように（いささか恣意的に）「定義」したものであるから，電気学の議論をそのまま援用出来て，電位に対応した磁気的なポテンシャルとして，磁位$\, \phi_M(\boldsymbol r)\, $を \begin{equation} \phi_M(\boldsymbol r)=\frac{1}{4\pi \mu_0}\int\frac{\rho_M(\boldsymbol r')}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r'|}d^3\boldsymbol r'\label{2.2} \end{equation} と定義することができる。ここで$\, \rho_M(\boldsymbol r')\, $は磁荷の密度である。そして，誘電分極と同じように，磁化$\, \boldsymbol M_c\, $を \begin{equation*} \boldsymbol M_c(\boldsymbol r)=\frac{1}{V} \int_{V_{\boldsymbol r}} \sum_i \boldsymbol m_{c,i}\delta(\boldsymbol r-\boldsymbol r_i)d^3\boldsymbol r \end{equation*} とおいてしまえば，静磁場におけるGaussの法則は、前ページ1で$\, \nabla\cdot \big\{\epsilon_0\boldsymbol E(\boldsymbol r)+\boldsymbol P(\boldsymbol r)\big\}=\rho\, $だったのと同様にして \begin{equation} \nabla\cdot \big\{\mu_0\boldsymbol H(\boldsymbol r)+\boldsymbol M_c(\boldsymbol r)\big\}=0\label{2.4} \end{equation} となる。

(\ref{2.4})式からすぐにわかるように，もし，磁束密度$\, \boldsymbol B(\boldsymbol r)\, $を \begin{equation} \boldsymbol B(\boldsymbol r)=\mu_0\boldsymbol H(\boldsymbol r)+\boldsymbol M_c(\boldsymbol r)\label{2.5} \end{equation} とおくことができれば，真空中のMaxwell方程式における静磁場の法則$\, \nabla\cdot \boldsymbol B(\boldsymbol r)=0\, $は，物質中においても成立することになる。しかし，もちろん$\, \boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol H+\boldsymbol M_c\, $などと恣意的においてよい理由など現時点では存在しないから，現時点ではこれ以上の議論はできない。そこで，(\ref{2.5})式の妥当性が確認できるような材料を準備するために，いったん議論を移すことにしよう。

磁気双極子$\, \boldsymbol m_c\, $によってできる磁場$\, \boldsymbol H(\boldsymbol r)\, $のようす

ところで，(\ref{2.2})式によって我々は，原点に磁気双極子モーメント$\, \boldsymbol m_c=q\boldsymbol d\, $があるときに$\, \boldsymbol m_c\, $が作るポテンシャル$\, \phi_D(\boldsymbol r)\, $を， \begin{equation*} \begin{split} \phi_D(\boldsymbol r)&=\frac{q}{4 \pi\mu_0 |\boldsymbol r-\boldsymbol d/2|}-\frac{q}{4 \pi\mu_0 |\boldsymbol r+\boldsymbol d/2|}\\ &=\frac{q}{4 \pi\mu_0}\left(\frac{1}{|\boldsymbol r-\boldsymbol d/2|}-\frac{1}{|\boldsymbol r+\boldsymbol d/2|}\right) \end{split} \end{equation*} と書くことができる。ここで，$\, f(\boldsymbol r)=\dfrac{1}{|\boldsymbol r|}=\dfrac{1}{r}\, $とおくと，3変数のテイラー展開により， \begin{equation*} f(\boldsymbol r+\boldsymbol d)=f(\boldsymbol r)+(\boldsymbol d\cdot\nabla)f(\boldsymbol r)+\frac{1}{2}(\boldsymbol d\cdot\nabla)^2f(\boldsymbol r)+\cdots \end{equation*} とかけるので，これより，$\, \boldsymbol d\, $が十分小さいとすれば， \begin{equation*} \begin{split} \phi_D(\boldsymbol r)&=\frac{q}{4 \pi\mu_0}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2}(\boldsymbol d\cdot \nabla)\frac{1}{r}-\frac{1}{r}-\frac{1}{2}(\boldsymbol d\cdot \nabla)\frac{1}{r}\right)\\ &=-\frac{q}{4 \pi\mu_0}(\boldsymbol d\cdot \nabla)\frac{1}{r}=-\frac{1}{4 \pi\mu_0}(\boldsymbol m_c\cdot \nabla)\frac{1}{r} \end{split} \end{equation*} とかける。これより，$\, \boldsymbol m_c\, $が作る磁場$\, \boldsymbol H_m\, $は， \begin{equation*} \boldsymbol H_m(\boldsymbol r)=-\nabla\phi_D(\boldsymbol r) =\frac{1}{4 \pi\mu_0}\nabla\left[(\boldsymbol m_c\cdot \nabla)\frac{1}{r}\right] \end{equation*} となる。この計算は一見厄介に想えるが，微分公式 \begin{equation*} \partial_i\partial_j\frac{1}{r}=\frac{3r_ir_j}{r^5}-\frac{\delta_{ij}}{r^3}-\frac{4\pi}{3}\delta_{ij}\delta(\boldsymbol r) \end{equation*} を認めてしまえば，$\, \nabla\left[(\boldsymbol m_c\cdot \nabla)\dfrac{1}{r}\right]\, $の$\, i\, $成分は， \begin{equation*} \begin{split} \partial_im_j\partial_ja&=m_j\left(\frac{3r_ir_j}{r^5}-\frac{\delta_{ij}}{r^3}-\frac{4\pi}{3}\delta_{ij}\delta(\boldsymbol r)\right)\\ &=\frac{3r_ir_jm_j-m_ir^2}{r^5}-\frac{4\pi m_i}{3}\delta(\boldsymbol r) \end{split} \end{equation*} となる。ベクトル表記に直して，以上より， \begin{equation*} \begin{split} \boldsymbol H_m(\boldsymbol r)&=\frac{1}{4\pi\mu_0}\left(\frac{3(\boldsymbol m_c\cdot\boldsymbol r)\boldsymbol r-\boldsymbol m_cr^2}{4\pi\mu_0r^5}-\frac{4\pi \boldsymbol m_c}{3}\delta(\boldsymbol r)\right)\\ &=\frac{3(\boldsymbol m_c\cdot\boldsymbol r)\boldsymbol r-\boldsymbol m_cr^2}{4\pi\mu_0r^5}-\frac{\boldsymbol m_c}{3\mu_0}\delta(\boldsymbol r) \end{split} \end{equation*} となる。位置ベクトルの原点を$\, \boldsymbol r'\, $にずらせば，以上より，位置ベクトル$\, \boldsymbol r'\, $にある時期双極子モーメント$\, \boldsymbol m_c\, $がその周りに作る磁場は，

である。

ベクトルポテンシャル$\, \boldsymbol A(\boldsymbol r)\, $の多重極展開

次に，ベクトルポテンシャル$\, \boldsymbol A(\boldsymbol r)\, $の多重極展開について，本節でおさらいしておこう。ベクトルポテンシャル$\, \boldsymbol A(\boldsymbol r)\, $は，電流密度を$\, \boldsymbol j(\boldsymbol r)\, $として， \begin{equation} \boldsymbol A(\boldsymbol r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\boldsymbol j(\boldsymbol r')}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r'|}d^3\boldsymbol r'\label{2.7} \end{equation} と表される。するとこのとき，$\, \boldsymbol r\, $が$\, \boldsymbol r'\, $に比べて十分離れていれば，前節のLegendre多項式のTaylor展開により，$\, |\boldsymbol r|=r,|\boldsymbol r'|=r'\, $，$\, \boldsymbol r\, $と$\, \boldsymbol r'\, $のなす角を$\, \theta\, $として， \begin{equation*} \frac{1}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r'|}\approx\frac{1}{r}\left\{1+\left(\frac{r'}{r}\right)\cos\theta+\left(\frac{r'}{r}\right)^2\frac{1}{2}(3\cos^2\theta-1)\right\} \end{equation*} が成立することより，電気学のときと同様にして

と書ける（今回は第2項までしか考えない）。第1項は単独の磁荷が存在しないので積分結果は0である。よって第2項を計算して整理することにより，煩雑な計算の結果，

が得られる。ここで$\, \boldsymbol m_j\, $を磁気双極子モーメントと呼ぶ。

ここで1つの問題が生ずる。(\ref{2.1})式と(\ref{2.9})式で2つの磁気双極子モーメント$\, \boldsymbol m\, $の定義が出てきてしまっているのである。もちろん，現時点ではこれら2つの磁気双極子モーメントが同じだと考えてよい理由はないから，(\ref{2.1})式の磁気双極子モーメントを$\, \boldsymbol m_c\, $，(\ref{2.9})式の磁気双極子モーメントを$\, \boldsymbol m_j\, $として添え字を区別し， \begin{equation*} \boldsymbol m_c=\boldsymbol m_j \end{equation*} を示すことを，今後の課題として残しておこう。

磁気双極子$\, \boldsymbol m_j\, $によってできる磁束密度$\, \boldsymbol B\, $のようす

最後に，原点にある磁気双極子モーメント$\, \boldsymbol m_j\, $がそのまわりに作る磁束密度$\, \boldsymbol B_m(\boldsymbol r)\, $を導出しておこう。とはいえ，今回の場合も，$\, \boldsymbol B_m(\boldsymbol r)\, $は，(\ref{2.9})式 \begin{equation*} \boldsymbol A_m(\boldsymbol r)=\frac{\boldsymbol m_j\times \boldsymbol r}{4\pi r^3} \end{equation*} において，$\, \boldsymbol B_m(\boldsymbol r)=\nabla \times \boldsymbol A_m\, $を計算するだけである。これを行うと， \begin{equation} \begin{split} \boldsymbol B_m(\boldsymbol r)&=\nabla \times \boldsymbol A_m=\nabla \times \frac{\boldsymbol m_j\times \boldsymbol r}{4\pi r^3}\\ &=-\frac{1}{4\pi }\nabla \times \bigg(\boldsymbol m_j\times \nabla\frac{1}{r}\bigg) \end{split}\label{2.10} \end{equation} と計算できる。ただし最後の等号では、微分公式 \begin{equation*} \frac{\boldsymbol r}{r^3}=-\nabla\frac{1}{r} \end{equation*} を用いた。

さらに，$\, \boldsymbol b=\nabla\dfrac{1}{r}\, $とおけば，$\, \nabla\times\boldsymbol m\times \boldsymbol b\, $の$\, i\, $成分は

と計算でき，これより，(\ref{2.10})式に代入して， \begin{equation} \boldsymbol B_m(\boldsymbol r)=-\frac{1}{4\pi }\boldsymbol m_j\nabla^2\frac{1}{r}+\frac{1}{4\pi}(\boldsymbol m_j\cdot \nabla)\nabla\frac{1}{r}\label{2.11} \end{equation} である。(\ref{2.11})式の第1項は、微分公式 \begin{equation*} \nabla^2\frac{1}{r}=-4\pi\delta(\boldsymbol r) \end{equation*} を用いると、 \begin{equation} -\frac{1}{4\pi }\boldsymbol m_j\nabla^2\frac{1}{r}=\boldsymbol m_j\delta(\boldsymbol r)\label{2.12} \end{equation} と計算できる。第2項も一見厄介だが，微分公式 \begin{equation*} \partial_i\partial_j\frac{1}{r}=\frac{3r_ir_j}{r^5}-\frac{\delta_{ij}}{r^3}-\frac{4\pi}{3}\delta_{ij}\delta(\boldsymbol r) \end{equation*} を認めてしまえば，第2項の$\, i\, $成分は， \begin{equation*} \begin{split} \frac{1}{4\pi}m_j\partial_j\partial_i\frac{1}{r}&=\frac{1}{4\pi}m_j\left(\frac{3r_ir_j}{r^5}-\frac{\delta_{ij}}{r^3}-\frac{4\pi}{3}\delta_{ij}\delta(\boldsymbol r)\right)\\ &=\frac{1}{4\pi}\left(\frac{3r_im_jr_j}{r^5}-\frac{m_i}{r^3}-\frac{4\pi}{3}m_i\delta(\boldsymbol r)\right) \end{split} \end{equation*} と簡単に計算できる。これをベクトル表記に直して，

となる。以上から，(\ref{2.11})式に(\ref{2.12})式，(\ref{2.13})式を代入して， \begin{equation*} \boldsymbol B_m(\boldsymbol r)=\frac{3(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol m_j)\boldsymbol r-\boldsymbol m_2r^2}{4\pi r^5}-\frac{2}{3}\boldsymbol m_j\delta(\boldsymbol r) \end{equation*} とかける。$\, \boldsymbol m\, $の位置を原点から$\, \boldsymbol r'\, $にずらせば，以上より，位置$\, \boldsymbol r'\, $にある磁気双極子モーメント$\, \boldsymbol m_j\, $が$\, \boldsymbol r\, $につくる磁束密度$\, \boldsymbol B_m(\boldsymbol r)\, $は，以上から，

とかける。

2−3　磁場$\, \boldsymbol H\, $を真空中の電磁気学から根拠づけ直す

磁場$\, \boldsymbol H\, $を定義し直す

ここで我々は驚くべきことに気づく。磁気双極子モーメント$\, \boldsymbol m_c\, $が作る磁場の式(\ref{H_m})式と，磁気双極子モーメント$\, \boldsymbol m_j\, $が作る磁場の式(\ref{2.14})式の形が，$\, \boldsymbol r=\boldsymbol r'\, $での特殊性を除き，きれいに一致しているのである。これは，磁場$\, \boldsymbol H\, $と磁束密度$\, \boldsymbol B\, $式の間に，何らかの密接な関係を築くことができることを示唆している。そこで，ここからは，(\ref{2.1})式の定義などは捨ててしまって，磁場$\, \boldsymbol H\, $を以下のように定義しなおすことにしよう。

このとき，(\ref{2.14})式を(\ref{2.15})式に代入すれば，$\, \boldsymbol H_m\, $は，

と表現できることがわかっているのである。これはもちろん任意の$\, \boldsymbol r\, $において成り立つ。以上の議論から，(\ref{H_c1})，(\ref{H_c2})式を比べることにより，数学的に

であることが要請される。この2つが等しいことが示されたのだから，もうこれ以降$\, \boldsymbol m\, $にわざわざややこしい添え字をつける必要はないだろう。

このとき，磁気双極子$\, \boldsymbol m\, $がつくる磁束密度$\, \boldsymbol B_m\, $と磁場$\, \boldsymbol H_m\, $は，(\ref{2.15})式より \begin{equation} \boldsymbol B_m(\boldsymbol r)=\mu_0\boldsymbol H_m(\boldsymbol r)+\boldsymbol m\delta(\boldsymbol r-\boldsymbol r') \end{equation} を満たすことがわかる。

磁化$\, \boldsymbol M\, $の再定義

(\ref{2.15})式は，$\, \boldsymbol m\, $が1つしかなかったときの話である。実際の物質中の空間においては$\, \boldsymbol m\, $は沢山あるので，それらの磁気双極子を \begin{equation*} \boldsymbol m_{1},\ \boldsymbol m_{2},\ \cdots ,\ \boldsymbol m_{n} \end{equation*} とすれば，位置ベクトル$\, \boldsymbol r\, $に存在する小さな空間$\, V_{\boldsymbol r}\, $内において(\ref{2.16})式を積分して，空間の体積$V$で割れば，

となる。$\, \boldsymbol B_m\, $の積分に関しては，小さな$\, V_{\boldsymbol r}\, $においては$\, \boldsymbol B_m\, $はほぼ一定とみなせるので，積分の外に出してしまってよくて， \begin{equation*} \frac{1}{V}\int_{V_{\boldsymbol r}}\boldsymbol B_m(\boldsymbol r')d^3\boldsymbol r'=\boldsymbol B_m(\boldsymbol r)\frac{1}{V}\int_{V_{\boldsymbol r}}\boldsymbol d^3\boldsymbol r'=\boldsymbol B_m(\boldsymbol r) \end{equation*} となり，値を変えない。$\, \boldsymbol H_m\, $も同様である。一方，磁化$\, \boldsymbol M(\boldsymbol r)\, $を

とおいてしまえば，以上より，(\ref{2.16})式は，

とかける。これはまさに(\ref{2.5})式と同じ形である。一方で，電気双極子そのものとしては$\, \boldsymbol m_c\, $が$\, \boldsymbol m_j\, $と同等に扱えるために，我々は，前ページ1の$\, \rho_P,\sigma_P\, $に対応するものとして， \begin{equation} \rho_M=-\nabla\cdot \boldsymbol M(\boldsymbol r),\quad \sigma_M=\boldsymbol M(\boldsymbol r)\cdot \boldsymbol n(\boldsymbol r')\label{prho_M} \end{equation} を考えられる。これは，磁化$\, \boldsymbol M(\boldsymbol r)\, $がつくる磁位$\, \phi_M(\boldsymbol r)\, $が，仮想的な内部磁荷密度$\, \rho_P\, $と，表面磁荷密度$\, \sigma_P\, $がつくる磁位（つまり磁場）と等価であることを示している。これによって我々は，1ー3の電束密度に関するガウスの法則の導出と同じ議論を磁束密度についても適用することができて，以上から

が成立する。前ページ1におけるGaussの法則とは異なり，磁束密度の場合には磁荷が存在しないので，(\ref{nablab})式の右辺は0となる。

2−4　$\, \boldsymbol m_c,\ \boldsymbol m_j\, $の解釈と量子力学の要請

$\, \boldsymbol m_c,\ \boldsymbol m_j\, $の違いについて

以上で本ページの目的は達成されたが，最後に、$\, \boldsymbol m_c,\boldsymbol m_j\, $と2つ存在してしまっている磁気双極子の定義をどのようにして解釈すべきか，まとめておこう。

まず，踏まえておくべきなのは，これまでの議論からもわかるとおり，磁気双極子$\, \boldsymbol m_j\, $と$\, \boldsymbol m_c\, $は磁気双極子の起源が異なるだけで，磁気双極子そのものとして扱う分には全く同じということである。

ただ，磁気双極子の起源を比べると，両者の様相はまったく異なる。磁気双極子$\, \boldsymbol m_c\, $は磁荷という現実には存在しえないものを起源とする点で違和感が残るが，一方でこのような磁気双極子の定義は，我々が直観的に理解しやすく，かつ静電場の議論を援用できて扱いやすい。一方で，磁気双極子$\, \boldsymbol m_j\, $は，電流$\, \boldsymbol j\, $を起源とするため正確だが，一方で我々にはやや数学的に扱いにくいものとなっている。

仮想電流を考える

ここで我々はある1つのアイデアを思いつく。我々は，$\, \boldsymbol m_c\, $の定義によって，磁性体に磁化$\, \boldsymbol M\, $が存在することと等価になるように，(\ref{prho_M})式のような仮想磁荷$\, \sigma_M,\rho_M\, $を考えた。これと同様に、$\, \boldsymbol m_j\, $の定義によって，誘電体に磁化$\, \boldsymbol M\, $が存在することと等価となるように，仮想電流$\, \boldsymbol j\, $を考えることはできないだろうか。これについて考えてみよう。

まずは，磁化$\, \boldsymbol M\, $により作られるベクトルポテンシャル$\, \boldsymbol A\, $が，磁化$\, \boldsymbol M\, $自身によってどう表現されるか考えよう。これは，前ページ1で電気分極$\, \boldsymbol P\, $が作る電位$\, \phi_P\, $を，その電気分極で表した式に対応したものである。

出発点となる式は，(\ref{2.9})式 \begin{equation*} \boldsymbol A_m(\boldsymbol r)=\frac{\boldsymbol m\times \boldsymbol r}{4\pi r^3} \end{equation*} である。ただ，(\ref{2.9})式は，1個の磁気双極子$\, \boldsymbol m\, $がつくる微視的なスケールのものに過ぎないので，磁化$\, \boldsymbol M(\boldsymbol r)\, $を用いて，巨視的なものに書き替えることができる。位置ベクトル$\, \boldsymbol r'\, $にある微小体積$\, d^3\boldsymbol r'\, $における磁化は$\, \boldsymbol M(\boldsymbol r')d^3\boldsymbol r\, $である。磁化といっても，それは磁気双極子$\, \boldsymbol m_i\, $がたくさん足されたものを単位体積当たりで表したものにすぎないから，$\, \boldsymbol M(\boldsymbol r')d^3\boldsymbol r'\, $が位置$\, \boldsymbol r\, $にもたらすベクトルポテンシャルは，(\ref{2.9})式より， \begin{equation*} \frac{1}{4\pi \mu_0}\frac{\boldsymbol M(\boldsymbol r')d^3\boldsymbol r'\times(\boldsymbol r-\boldsymbol r')}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r'|^3} \end{equation*} とかける。これを集めて積分することにより，磁化$\, \boldsymbol M(\boldsymbol r')\, $が位置$\, \boldsymbol r\, $にもたらすベクトルポテンシャル$\, \boldsymbol A(\boldsymbol r)\, $は，

さらにこの式を変形していく。ここで$\, f=\dfrac{1}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r'|}\, $とおくと， \begin{equation*} \frac{\boldsymbol M(\boldsymbol r')\times(\boldsymbol r-\boldsymbol r')}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r'|^3}=\boldsymbol M(\boldsymbol r')\times\nabla' f \end{equation*} とかける。ただしここで$\, \nabla'\, $にプライムがついているのは，$\, \boldsymbol r\, $ではなく$\, \boldsymbol r'\, $の座標系において演算を行うことを示している。さらに，$\, \nabla'\times (\boldsymbol Mf)\, $の$\, i\, $成分は， \begin{equation*} \epsilon_{ijk}\partial_jM_kf=\epsilon_{ijk}M_k\partial_jf+\epsilon_{ijk}f\partial_kM_j \end{equation*} と計算できる。これをベクトル表記に直すと， \begin{equation*} \nabla'\times (\boldsymbol Mf)=-\boldsymbol M\times \nabla' f+f(\nabla'\times \boldsymbol M) \end{equation*} とかけるから，以上より，

である。これを(\ref{2.24})式に代入して，

である。

ここで，Gaussの法則の変形版

を証明しよう。ここで$\, S\, $は任意の閉曲面であり，$\, V\, $はその内部の空間である。

【証明】(\ref{gaus})式の右辺に，任意の定数ベクトル$\, \boldsymbol C\, $をかけた値 \begin{equation} -\boldsymbol C\cdot\int_S\boldsymbol B\times \boldsymbol ndS \end{equation} を考える。この式の値は

と計算できる。なお，1行目と2行目の始めの式の間では，ガウスの法則を用いている。よって$(左辺)=(右辺)$となり，題意は示された。(証明終)

本題に戻ろう。先ほど証明した(\ref{gaus})式を(\ref{2.25})式の右辺第2項に適用して，